1、FFT算法简介本文将重点讲解DIT FFT的实现原理，这是一种高效的快速傅里叶变换算法。 蝶形运算单元结构蝶形运算单元是FFT的核心，每个单元由公式 [公式] 构成，其中XA和XB是输入，YA和YB是输出，构建了DIT基2的运算结构。
2、首先，让我们来了解FFT算法的简介。本次讲解的重点是分层迭代（DIT）的FFT实现原理。具体来说，每个蝶形运算单元的结构由公式表示，公式中XA和XB表示输入数据，YA和YB表示输出数据。每对基2蝶形结构包括这两个公式。接下来，我们将关注蝶形运算单元的具体结构。
3、原信号 [公式]，变换结果 [公式]，信号采样数量 [公式]。快速傅里叶变换（FFT）原理：当 [公式] 为偶数，对求和式子进行奇偶项重新排列，可得到：[公式]。由 [公式] 可知，原序列的离散傅里叶变换可简化为原序列偶数项的离散傅里叶变换加上奇数项的离散傅里叶变换与 [公式] 的积。
4、快速傅里叶变换（FFT）是分析周期序列的重要工具，它基于离散傅里叶变换（DFT）原理，但通过巧妙利用虚指数的对称性，大大提升了计算效率。
以实现数据吞吐率为3～4 Gsps的傅立叶变换为例，使用IP核要求工作时钟高达4000MHz以上，现有的FPGA实现难度较高。高速FFT设计采用高度并行策略，如64点FFT采用8路并行输入并行计算，工作时钟频率300MHz时，数据吞吐率可达2400Msps。在FFT设计中，主要参数包括基本参数、速度、精度与可逆性，以及资源和功耗。
例如，针对4096点傅立叶变换，这样的设计将单通道速率提升100倍，理论上可实现超过100Gsps的数据吞吐率。近期，我设计的128路并行输入4096点FFT，使用Xilinx V7平台，工作在320M时钟速度下，延迟约为40个时钟周期，实现了40Gsps的数据吞吐率，满足了这些高速应用的需求。
傅里叶变换的公式表如下：关于傅里叶变幻的介绍如下：傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。 一般情况下，N点的傅里叶变换对为：其中，WN=exp（-2pi/N）。X（k）和x（n）都为复数。与之相对的快速傅里叶变换有很多种，如DIT（时域抽取法）、DIF（频域抽取法）、Cooley-Tukey和Winograd等。对于2n傅里叶变换，Cooley-Tukey算法可导出DIT和DIF算法。
在MATLAB中，快速傅里叶变换的实现与Python类似，但具体函数和语法稍有差异。完整的MATLAB代码同样包含快速傅里叶变换、幅度谱和相位谱绘制等步骤。在科学计算中，使用快速傅里叶变换对一维时域数据进行傅里叶变换以获取其幅度频谱和相位频谱图，适用于生成或测量的离散波形数据。
流程如下（从左到右）： 原始图像 FFT频谱可视化输出 中心化 分散化 反向FFT 接下来，我们将深入探讨每个步骤，了解其背后的理论。 快速傅里叶变换 FFT过程将二维图像转换为难以直接可视化的复数数组。为了使其可视化，我们有两种方法：频谱（spectrum）和相位角（phase angle）。
首先，我们需要定义傅立叶变换及其逆变换的数学公式。假设 f（x） 是一个复值函数，其傅立叶变换 f（k） 可以通过以下公式求得：同样，对于一个复值函数 （k），其逆傅立叶变换 g（x） 可以通过以下公式计算。数值计算傅立叶变换通常需要离散化方法，以简化计算。
在Python中，Numpy和OpenCV都提供了实现傅里叶变换的函数。Numpy的fft2（）函数可以快速进行二维傅里叶变换，而OpenCV的cvdft（）则适用于复数图像。通过这些函数，我们可以观察到图像的频谱分布，并在处理后通过ifft2（）或idft（）进行逆变换，将频率信息还原为原始图像。
1、离散傅里叶变换（DFT）：傅里叶变换是数学上的一种精确描述，在计算机中实现时，它涉及将时域和频域进行离散化处理。离散化过程包括采样，即时域的等间隔采样导致频域发生周期延拓，而频域的采样则导致时域发生周期延拓。
2、第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。
3、在信号处理领域，我们经常需要将信号从时域转换到频域，以便更好地理解信号的频率成分。傅里叶变换是一种实现这一转换的强大工具，它允许我们从无限连续信号的角度分析信号。然而，实际操作中，我们处理的信号通常是有限且离散的。这就引出了离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）的概念。
4、数字信号处理领域中的快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的算法。它运用了旋转因子的周期性、对称性和可约性三大性质，以减少计算复杂度。下面将对 FFT 的基本概念进行简要解释。旋转因子的性质如下： **旋转因子的对称性**：这意味着旋转因子在运算中具有某种对称特性。
5、FFT，即快速傅里叶变换，是DFT的优化版本，通过利用DFT的对称性、周期性和可约性，显著减少了计算复杂度。例如，一个N点的DFT常规计算需要N^2次复数乘法，FFT则降低到了[公式]次，极大地提升了效率。
6、在处理时间连续与离散信号时，我们通常会遇到离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）三种工具。DTFT起源于时间连续信号，其将连续信号的频域表示转换为连续的频谱，对于长为M的序列x（n），其DTFT表达为公式（1），逆变换则对应公式（2）。
